Ploščina kroga
Luka želi določiti velikost ploskve v obliki kroga. Kako naj se loti dela?
Približno velikost ploščine kroga lahko določimo s preštevanjem enotskih kvadratkov. Bolj točno velikost ploščine dobimo z delitvijo kroga na skladne krožne izseke. Če so dovolj majhni, se približajo obliki enakokrakih trikotnikov.
Za oceno velikosti lahko Luka ploskev v obliki kroga položi na kvadratno mrežo in prešteje število kvadratkov, ki jih krog pokrije. Lahko pa krog razreže na čim več enakih krožnih izsekov in jih polaga drugega poleg drugega tako, da oblikuje štirikotnik, katerega ploščino že zna izračunati.
Mojster reši
Zgled 1
Razloži, zakaj je ploščina kroga s polmerom [latex]r[/latex] enaka [latex]\pi\cdot{r^2}[/latex].
Na sliki je v krog vrisan pravilni osemkotnik, ki je sestavljen iz osmih enakokrakih trikotnikov. Eden izmed njih ima vrisano stranico in višino. S povečevanjem števila stranic večkotnika se ploščina pravilnega večkotnika približuje ploščini kroga.
Predstavljajmo si, da osemkotnik razrežemo na krožne izseke, iz katerih oblikujemo lik, ki spominja na paralelogram. Ena stranica paralelograma je enaka polovici obsega kroga, višina paralelograma pa je enaka polmeru kroga.
Zato lahko sklepamo, da se ploščina kroga približuje številu, ki ga dobimo, če polovični obseg kroga pomnožimo s polmerom kroga.
[latex]p=\frac{o}{2}\cdot{r}=\frac{2\cdot\pi\cdot{r}}{2}\cdot{r}=\pi\cdot{r^2}[/latex]
Ploščina kroga
[latex]p=\pi\cdot{r^2}=\pi{r^2}[/latex]
Ploščina kroga [latex]p[/latex] in kvadrat polmera [latex]r^2[/latex] sta premo sorazmerni količini.
Koeficient tega premega sorazmerja je število [latex]\pi[/latex].
Zgled 2
Izračunaj ploščino kroga s polmerom [latex]2\, \mathrm{cm}[/latex].
Če želimo izračunati ploščino kroga s polmerom [latex]2\, \mathrm{cm}[/latex], moramo v obrazec [latex]p=\pi\cdot{r^2}[/latex] namesto spremenljivke [latex]r[/latex] vstaviti [latex]2\, \mathrm{cm}[/latex], namesto vrednosti [latex]\pi[/latex] pa vzamemo približek:
a) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] vzamemo približek [latex]3{,}14[/latex], dobimo
[latex]\begin{aligned}p&=\pi\cdot{r^2}\doteq3{,}14\cdot2^2\doteq3{,}14\cdot4\doteq12{,}56 \\ p&\doteq12{,}56\, \mathrm{cm^2}\end{aligned}[/latex]
b) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] vzamemo [latex]\frac{22}{7}[/latex], dobimo:
[latex]\begin{aligned}p&=\pi\cdot{r^2}\doteq\frac{22}{7}\cdot2^2\doteq\frac{22\cdot4}{7}\doteq\frac{88}{7}\doteq12\frac{4}{7} \\ p&\doteq12\frac{4}{7}\, \mathrm{cm^2}\end{aligned}[/latex]
c) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] uporabimo tipko na žepnem računalu, dobimo:
Na zaslonu se izpiše število [latex]12.56637061[/latex]. Ta rezultat je smiselno zaokrožiti na kvadratne milimetre natančno. Ploščina kroga je približno [latex]12{,}57\, \mathrm{cm^2}[/latex].
č) Če rezultat izrazimo s številom [latex]\pi[/latex], dobimo točen rezultat ali točno vrednost ploščine kroga.
[latex]\begin{aligned}p&=\pi\cdot{r^2}=\pi\cdot2^2=4\pi \\ p&=4\pi\, \mathrm{cm^2}\end{aligned}[/latex]
Pri izračunavanju ploščine kroga je rezultat odvisen od izbire približka za vrednost [latex]\pi[/latex].
Zgled 3
Koliko centimetrov meri premer kroga s ploščino [latex]200{,}96\, \mathrm{cm^2}[/latex]?
Iz obrazca [latex]p=\pi{r^2}[/latex] lahko izrazimo [latex]r^2[/latex].
Pri tem dobimo zvezo [latex]r^2=\frac{p}{\pi}[/latex].
Iskani polmer [latex]r[/latex] dobimo s pomočjo korenjenja, kar zapišemo kot [latex]r=\sqrt{\frac{p}{\pi}}[/latex].
Ko v to zvezo vstavimo podatek za ploščino, dobimo:
[latex]r=\sqrt{\frac{p}{\pi}}\doteq\sqrt{\frac{200{,}96}{3{,}14}}=\sqrt{64}=8[/latex]
[latex]r=8\, \mathrm{cm}[/latex]
[latex]2r=16\, \mathrm{cm}[/latex]
Polmer kroga
[latex]r=\sqrt{\frac{p}{\pi}}[/latex]
Odgovor: Premer kroga s ploščino [latex]200{,}96\, \mathrm{cm^2}[/latex] je dvakrat daljši od polmera, torej meri [latex]16\, \mathrm{cm}[/latex].