Število [latex]\pi [/latex] in obseg kroga
Ana in Luka sta vsak svoje kolo zavrtela tako, da je točka na obodu kolesa naredila en obrat. Pojasni, zakaj je bila pri Aninem kolesu razdalja na tleh krajša.
Obseg kroga je enak dolžini krožnice, ki ga omejuje.
Manjše Anino kolo je naredilo krajšo pot kot večje Lukovo kolo. Obseg kroga je namreč odvisen od premera kroga. Med njima obstaja zveza, ki se izraža kot količnik in je za vse krožnice enaka.
Mojster reši
Zgled 1
Z merjenjem določi količnik med obsegom in premerom kroga.
Odnos lahko odkrijemo, če pri okroglih predmetih različnih velikosti izmerimo dolžino oboda in jo primerjamo s pripadajočim premerom. Preglednica kaže izračunane količnike med obsegom in premerom na tri decimalna mesta natančno.
Iz rezultatov treh meritev lahko ocenimo, da se količnik bistveno ne spreminja.
Pri zelo velikem številu takšnih meritev se da pokazati, da je količnik, ki predstavlja razmerje med obsegom in premerom istega kroga, stalen.
Označimo ga z malo grško črko [latex]\pi[/latex] (pi) in zapišemo [latex]o:2r=\pi[/latex].
Število [latex]\pi[/latex] ima neskončno veliko decimalk. Pri računanju navadno uporabljamo približno vrednost [latex]3{,}14[/latex]. Lahko pa uporabimo tudi približek, izražen z ulomkom [latex]\frac{22}{7}[/latex].
Ugotovili smo, da je obseg [latex]\pi[/latex]-krat večji od premera kroga oziroma [latex]2\pi[/latex]-krat daljši od polmera kroga, zato lahko zapišemo [latex]o=2\pi\cdot{r}[/latex].
Obseg kroga
[latex]o=\pi\cdot{d}=\pi\cdot{2r}=\pi\cdot2\cdot{r}=2\pi{r}[/latex]
Obseg kroga izračunamo tako,
da polmer [latex]r[/latex] pomnožimo z [latex]2\pi[/latex] ali pa premer [latex]2r[/latex] ([latex]d[/latex]) pomnožimo s [latex]\pi[/latex].
Obseg kroga je premo sorazmeren s premerom.
Koeficient tega premega sorazmerja je [latex]\pi[/latex]. Izraža razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom ter je za vse kroge enak.
Količnik med obsegom in premerom kroga je stalen.
Enak je številu, ki ga zapišemo z malo grško črko [latex]\pi[/latex].
[latex]\frac{o}{2r}=\pi[/latex]
[latex]\pi=3{,}141592654[/latex]...
[latex]\pi\doteq3{,}14[/latex] – Ludolfovo število
[latex]\pi\doteq\frac{22}{7}[/latex] – Arhimedovo število
Zanimivost
Število [latex]\pi[/latex] je iracionalno število, ker je neskončno neperiodično decimalno število.
Vrednost [latex]\pi[/latex], zapisana s prvimi štiriinšestdesetimi števkami, je: [latex]3{,}14159\, 26535\, 89793\, 23846[/latex] [latex]26433\, 83279\, 50288\, 41971\, 69399\, 37510\, 58209\, 74944\, 592[/latex]...
Ludolph van Ceulen je bil nemško-nizozemski matematik, ki se je rodil leta 1540 in umrl leta 1610. Večji del svojega življenja je posvetil izračunu številčne vrednosti števila [latex]\pi[/latex]. Po njegovi smrti so [latex]20[/latex] decimalk števila [latex]\pi[/latex] vgravirali v njegov nagrobnik.
Arhimed je bil starogrški matematik, fizik, mehanik, izumitelj, inženir in astronom. Rodil se je leta 287 pr. n. št. v Sirakuzah na Siciliji in tam leta 212 pr. n. št. tudi umrl. Okoli leta 230 pr. n. št. je našel približek za obseg kroga z včrtanimi in očrtanimi pravilnimi večkotniki. Odkril je, da je [latex]\pi\lt\frac{22}{7}[/latex].
Slovenski matematik Jurij Vega, fizik, geodet, meteorolog, plemič in topniški častnik, ki se je rodil leta 1754 v kraju Zagorica pri Dolskem in umrl leta 1802 v kraju Nussdorf pri Dunaju, je izračunal število [latex]\pi[/latex] na [latex]136[/latex] decimalk natančno.
Zgled 2
Izračunaj obseg kroga s polmerom [latex]7\, \mathrm{cm}[/latex].
Če želimo izračunati obseg kroga s polmerom [latex]7\, \mathrm{cm}[/latex], moramo v obrazec [latex]o=2\cdot\pi\cdot{r}[/latex] namesto spremenljivke [latex]r[/latex] vstaviti [latex]7\, \mathrm{cm}[/latex], namesto vrednosti [latex]\pi[/latex] pa vzamemo približek.
a) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] vzamemo približek [latex]3{,}14[/latex], dobimo:
[latex]\begin{aligned}o&=2\cdot\pi\cdot{r}\doteq2\cdot3{,}14\cdot7\doteq43{,}96 \\ o&\doteq43{,}96\, \mathrm{cm}\end{aligned}[/latex]
b) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] vzamemo približek [latex]\frac{22}{7}[/latex], dobimo:
[latex]\begin{aligned}o&=2\cdot\pi\cdot{r}\doteq2\cdot\frac{22}{7}\cdot7\doteq44 \\ o&\doteq44\, \mathrm{cm}\end{aligned}[/latex]
c) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] uporabimo tipko na žepnem računalu, dobimo:
Na zaslonu se izpiše število [latex]43.98229715[/latex]. Ta rezultat je smiselno zaokrožiti na celo število. Obseg je približno [latex]44\, \mathrm{cm}[/latex].
č) Če rezultat izrazimo s številom [latex]\pi[/latex], dobimo:
[latex]\begin{aligned}o&=2\cdot\pi\cdot{r}=2\cdot\pi\cdot7=14\pi \\ o&=14\pi\, \mathrm{cm}\end{aligned}[/latex]
Rečemo, da smo dobili točen rezultat ali točno vrednost obsega.
Rezultat je odvisen od izbire približka za vrednost [latex]\pi[/latex].
Zgled 3
Izračunaj polmer kroga, ki ga omejuje [latex]25\, \mathrm{dm}[/latex] dolga krožnica.
Polmer kroga poiščemo z diagramom.
Vemo, da je premer približno trikrat krajši od obsega kroga. Če iz obrazca [latex]o=2\cdot\pi\cdot{r}[/latex] izrazimo [latex]r[/latex], dobimo zvezo [latex]r=\frac{o}{2\cdot\pi}[/latex].
Polmer kroga
[latex]r=\frac{o}{2\cdot\pi}[/latex]
a) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] vzamemo približek [latex]3{,}14[/latex], dobimo:
[latex]\begin{aligned}r&=\frac{o}{2\cdot\pi}\doteq\frac{25}{2\cdot3{,}14}\doteq\frac{25}{6{,}28}\doteq3{,}98 \\ r&\doteq3{,}98\, \mathrm{dm}\end{aligned}[/latex]
b) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] vzamemo približek [latex]\frac{22}{7}[/latex], dobimo:
[latex]\begin{aligned}r&=o:(2\cdot\pi)\doteq25:(2\cdot\frac{22}{7})\doteq25:(\frac{44}{7})\doteq\frac{25\cdot7}{1\cdot44}\doteq\frac{175}{44}\doteq3\frac{43}{44} \\ r&\doteq3\frac{43}{44}\, \mathrm{dm}\end{aligned}[/latex]
c) Če za vrednost števila [latex]\pi[/latex] uporabimo tipko na žepnem računalu, dobimo:
Na zaslonu se izpiše število [latex]3.978873577[/latex]. Ta rezultat zaokrožimo na celo število. Polmer je približno [latex]4\, \mathrm{dm}[/latex].
Izračunani polmer kroga je odvisen od izbire približka za število [latex]\pi[/latex].