Enačba in njena rešitev

Luka je pripravil nekaj listkov. Prosil je Ano, naj med njimi izbere tiste, na katerih je zapisana enačba. Koliko listkov je izbrala Ana in katere?

Enačba je enakost dveh izrazov z vsaj eno neznanko. Zapisu na levi strani enačaja pravimo leva stran enačbe. Zapisu na desni strani enačaja pravimo desna stran enačbe.

Rešiti enačbo pomeni poiskati tisto število, pri katerem je vrednost izraza na levi strani enačbe enaka vrednosti izraza na desni strani enačbe. Števila, ki jih lahko uporabimo za rešitev, sestavljajo osnovno množico. Označimo jo z [latex]{\mathcal{R}}[/latex]. Vsa števila, ki zadoščajo enačbi, sestavljajo množico rešitev. Označimo jo z [latex]{\mathcal{U}}[/latex].

Enačba in njena rešitev

Luka je pripravil nekaj listkov. Prosil je Ano, naj med njimi izbere tiste, na katerih je zapisana enačba. Koliko listkov je izbrala Ana in katere?

Ana si enačbo predstavlja kot matematični zapis z enačajem, v katerem je vsaj ena neznanka. Na izbranih listkih naj bi bil torej zapisan znak [latex]=[/latex], levo in desno od njega pa vsaj eno število ali vsaj ena neznanka.

V naboru listkov jih je Ana izbrala šest, in sicer: , , , ,  ter .

Neznano število v enačbi označimo s črko [latex]x[/latex], lahko pa tudi s katerokoli drugo črko abecede. Neznanemu številu pravimo neznanka.

Enačba je enakost dveh izrazov z vsaj eno neznanko. Zapisu na levi strani enačaja pravimo leva stran enačbe. Zapisu na desni strani enačaja pravimo desna stran enačbe.

Rešiti enačbo pomeni poiskati tisto število, pri katerem je vrednost izraza na levi strani enačbe enaka vrednosti izraza na desni strani enačbe. Števila, ki jih lahko uporabimo za rešitev, sestavljajo osnovno množico. Označimo jo z [latex]\mathscr{U}[/latex]. Vsa števila, ki zadoščajo enačbi, sestavljajo množico rešitev. Označimo jo z [latex]\mathscr{R}[/latex].

Mojster reši

Zgled

S premislekom reši enačbo, naredi preizkus in zapiši množico rešitev.

[latex]-3+x=-14[/latex]

Iz enačbe [latex]-3+x=-14[/latex] dobimo neznani drugi seštevanec tako, da od vsote [latex]-14[/latex] odštejemo prvi seštevanec [latex]-3[/latex].

[latex]x = -14 - (-3)[/latex]
[latex]x = -14 + 3[/latex]
[latex]x = -11[/latex]

[latex]{\mathcal R} = \{-11\}[/latex]

Preizkus:

  • vrednost leve strani enačbe: [latex]-3 + (-11) = -14[/latex]
  • vrednost desne strani enačbe: [latex]-14[/latex]

S premislekom reši enačbo, naredi preizkus in zapiši množico rešitev.

[latex]11-x=15[/latex]

Iz enačbe [latex]11 -x = 15[/latex] dobimo neznani odštevanec tako, da od zmanjševanca [latex]11[/latex] odštejemo razliko [latex]15[/latex].

[latex]x = 11-15[/latex]
[latex]x = –4[/latex]

[latex]{\mathcal R}= \{-4\}[/latex]

Preizkus:

  • vrednost leve strani enačbe: [latex]11- (-4) = 11 + 4 = 15[/latex]
  • vrednost desne strani enačbe: [latex]15[/latex]

S premislekom reši enačbo, naredi preizkus in zapiši množico rešitev.

[latex]-4\cdot x=20[/latex]

Iz enačbe [latex]-4 \cdot x = 20[/latex] dobimo neznani drugi faktor tako, da produkt [latex]20[/latex] delimo z [latex]-4[/latex].

[latex]x = 20 : (-4)[/latex]
[latex]x = -5[/latex]

[latex]{\mathcal R}= \{-5\}[/latex]

Preizkus:

  • vrednost leve strani enačbe: [latex]-4 \cdot (-5) = 20[/latex]
  • vrednost desne strani enačbe: [latex]20[/latex]

S premislekom reši enačbo, naredi preizkus in zapiši množico rešitev.

[latex]x : (-3) = 7[/latex]

Iz enačbe [latex]x : (-3) = 7[/latex] dobimo neznani deljenec tako, da količnik [latex]7[/latex] pomnožimo z deliteljem [latex]-3[/latex].

[latex]x = 7\cdot(-3)[/latex]
[latex]x = -21[/latex]

[latex]\mathcal{R} = \{-21\}[/latex]

Preizkus:

  • vrednost leve strani enačbe: [latex]-21 : (-3) = 7[/latex]
  • vrednost desne strani enačbe: [latex]7[/latex]

S premislekom reši enačbo, naredi preizkus in zapiši množico rešitev.

[latex]35 : x = -5[/latex]

Iz enačbe [latex]35 : x = -5[/latex] dobimo neznani delitelj tako, da deljenec [latex]35[/latex] delimo s količnikom [latex]-5[/latex].

[latex]x = 35 : (-5)[/latex]
[latex]x = -7[/latex]
[latex]\mathcal{R} = \{-7\}[/latex]

Preizkus:

  • vrednost leve strani enačbe: [latex]35 : (-7) = -5[/latex]
  • vrednost desne strani enačbe: [latex]-5[/latex]

Pravilnost rešitve preverimo tako, da v enačbo namesto neznanke vstavimo rešitev in preverimo, ali na obeh straneh enačbe dobimo enako vrednost.

Enačbo [latex]5+2\cdot x=x+7[/latex] lahko ponazorimo s tehtnico.

Če na obeh straneh v skodelici dodamo enako vrednost ali enako vrednost odvzamemo, ostane tehtnica v ravnovesju.

Če na obeh straneh vsebino skodelice enkrat, dvakrat … povečamo ali enkrat, dvakrat … zmanjšamo, ostane tehtnica v ravnovesju.

Vaja dela mojstra