Kvadratni koren produkta in količnika

Ana se je znašla pred problemom. Ni znala izračunati vrednosti količnika  [latex]\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{108}}[/latex], zato je prosila Luko za pomoč.

 

Kvadratni koren produkta dveh pozitivnih števil je enak produktu kvadratnih korenov teh dveh števil.

[latex]\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b};\qquad a,\; b\in\mathbb{Q}^{\mathbb{+}}[/latex]

in obratno:

produkt kvadratnih korenov dveh pozitivnih števil je enak kvadratnemu korenu produkta teh dveh števil.

[latex]\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}[/latex]

Kvadratni koren količnika dveh pozitivnih števil je enak količniku kvadratnih korenov teh dveh števil.

[latex]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}};\qquad a,\; b\in\mathbb{Q}^{\mathbb{+}}[/latex]

in obratno:
količnik kvadratnih korenov dveh pozitivnih števil je enak kvadratnemu korenu količnika teh dveh števil.

[latex]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}[/latex]

Kvadratni koren produkta in količnika

Ana se je znašla pred problemom. Ni znala izračunati vrednosti količnika [latex]\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{108}}[/latex], zato je prosila Luko za pomoč.

Luka ji je razložil, naj zapiše količnik [latex]\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{108}}[/latex] kot kvadratni koren količnika števil [latex]75[/latex] in [latex]108[/latex]. Nato naj ulomek krajša s [latex]3[/latex] in koreni števec posebej in imenovalec posebej.

[latex]\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{108}}=\sqrt {\frac{75\colon3}{108\colon3}}=\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}[/latex]

Mojster reši

Zgled

Izračunaj kvadratni koren števil na dva načina.

a) [latex]\sqrt{1600}[/latex]                    b) [latex]\sqrt{\frac{16}{81}}[/latex] 

Pri prvem načinu bomo število korenili. Pri drugem načinu pa bomo korenjenec zapisali kot produkt oziroma kot količnik korenov, nato pa korenili vsak faktor.

1. način:

a) [latex]\sqrt{1600}=40[/latex], ker je  [latex]40^2=1600[/latex]  

b) [latex]\sqrt{\frac{16}{81}}={\frac{4}{9}}[/latex], ker je  [latex]\left (\frac{4}{9} \right )^2=\frac{16}{81}[/latex]  

 

2. način:

a) [latex]\sqrt{1600}=\sqrt{16 \cdot 100}=\sqrt{16} \cdot \sqrt{100}=4 \cdot 10=40[/latex]

b) [latex]\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}={\frac{4}{9}}[/latex]

Kvadratni koren produkta dveh pozitivnih števil je enak produktu kvadratnih korenov teh dveh števil.

[latex]\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b};\qquad a,\; b\in\mathbb{Q}^{\mathbb{+}}[/latex]

in obratno:

produkt kvadratnih korenov dveh pozitivnih števil je enak kvadratnemu korenu produkta teh dveh števil.

[latex]\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}[/latex]

Kvadratni koren količnika dveh pozitivnih števil je enak količniku kvadratnih korenov teh dveh števil.

[latex]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}};\qquad a,\; b\in\mathbb{Q}^{\mathbb{+}}[/latex]

in obratno:
količnik kvadratnih korenov dveh pozitivnih števil je enak kvadratnemu korenu količnika teh dveh števil.

[latex]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}[/latex]

Kvadratni koren števila 0 je 0.
[latex]\sqrt{0}=0[/latex]

Vaja dela mojstra

Bodi pozoren na zapise.

[latex]\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}[/latex]
[latex]\sqrt{a:b}=\sqrt{a}:\sqrt{b}[/latex]

 

[latex]\sqrt{16 \cdot 4}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{4}[/latex]
[latex]\sqrt{16:4}=\sqrt{16}:\sqrt{4}[/latex]
[latex]\sqrt{16+4}\neq\sqrt{16}+\sqrt{4}[/latex]
[latex]\sqrt{16-4}\neq\sqrt{16}-\sqrt{4}[/latex]

Kadar korenimo produkt več faktorjev, ki so popolni kvadrati, je preprosteje, če korenimo vsak faktor posebej, kot če zmnožimo vse faktorje med seboj in korenimo produkt.