Obseg in ploščina deltoida

Luka je izdelal zmaja v obliki deltoida. Najmanj koliko plastične folije je porabil za njegovo izdelavo, če je folijo razpel prek dveh pravokotnih letvic, dolgih [latex]0{,}7\, \mathrm{m}[/latex] in [latex]0{,}4\, \mathrm{m}[/latex]?

Za štirikotnike, ki imajo pravokotni diagonali, velja, da je njihova ploščina enaka polovici produkta obeh diagonal.

[latex]\text{p}=\frac{e \cdot f}{2}\quad[/latex] ali [latex]\quad\text{p}=\frac{1}{2} \cdot e \cdot f[/latex]

Obseg deltoida je enak dvakratniku vsote stranic [latex]a[/latex] in [latex]c[/latex].

[latex]\text{o}=2\cdot a+2\cdot c[/latex]
[latex]\text{o}=2\cdot (a+ c)[/latex]

Obseg in ploščina deltoida

Luka je izdelal zmaja v obliki deltoida. Najmanj koliko plastične folije je porabil za njegovo izdelavo, če je folijo razpel prek dveh pravokotnih letvic, dolgih [latex]0{,}7\, \mathrm{m}[/latex] in [latex]0{,}4\, \mathrm{m}[/latex]?

Luka si je predstavljal, da lahko folijo zloži v pravokotnik, ki je dolg toliko kot ena letvica in širok za polovico druge letvice. Ploščino pravokotnika je izračunal tako, da je zmnožil obe dolžini: [latex]0{,}7\, \mathrm{m}\cdot0{,}2\, \mathrm{m}=0{,}14\, \mathrm{m}^2[/latex].

Luka je porabil najmanj [latex]0{,}14\, \mathrm{m}^2[/latex] plastične folije.

Mojster reši

Zgled 1

S pomočjo dolžin obeh diagonal zapiši obrazec za ploščino deltoida.

S skice vidimo, da deltoid lahko preoblikujemo v ploščinsko enak pravokotnik s širino, ki je enaka diagonali $f$, dolžina pa je enaka polovici dolžine druge diagonale. Ploščino zato izračunamo po obrazcu:

[latex]p=f\cdot\frac{e}{2}=\frac{e \cdot f}{2}[/latex] ali

[latex]p=\frac{1}{2} \cdot e \cdot f[/latex]

Za štirikotnike, ki imajo pravokotni diagonali, velja, da je njihova ploščina enaka polovici produkta obeh diagonal.

[latex]p=\frac{e \cdot f}{2}\quad[/latex] ali [latex]\quad p=\frac{1}{2} \cdot e \cdot f[/latex]

Zgled 2

Izračunaj ploščino deltoida.

Deltoid
[latex]e= 4 \frac{2}{3} \; \text{dm}[/latex]

[latex]\underline{f= 5\frac{2}{7} \; \text{dm}}[/latex]
[latex]p=?[/latex]

[latex]p=\frac{e \cdot f}{2}[/latex]

[latex]p=\frac{1}{2} \cdot e \cdot f[/latex]

[latex]p=\frac{1}{2} \cdot 4 \frac{2}{3} \cdot 5 \frac{2}{7}[/latex]

[latex]p=\frac{1}{2} \cdot  \frac{14}{3} \cdot  \frac{37}{7}[/latex]

[latex]p=\frac{37}{3}[/latex]

[latex]p=12 \frac{1}{3}\;\text{dm}^2[/latex]

Po drugem obrazcu lažje izračunamo ploščino, saj se izognemo računanju z dvojnimi ulomki.

Obseg deltoida je enak dvakratniku vsote stranic [latex]a[/latex] in [latex]c.[/latex]

[latex]o=2\cdot a+2\cdot c[/latex]
[latex]o=2\cdot (a+ c)[/latex]

Vaja dela mojstra

Romb ima pravokotni diagonali in je poseben primer deltoida.

Obseg romba

[latex]o=4 \cdot a[/latex],
ker je enakostranični paralelogram.

Ploščina romba

[latex]p=\frac{e \cdot f}{2}[/latex], ker je deltoid;
[latex]p=a \cdot v[/latex], ker je paralelogram.