Obseg in ploščina paralelograma
Ana in Luka sta želela ugotoviti, koliko kvadratnih metrov parkirnega mesta je namenjenih vsakemu avtomobilu. Razmislila sta, katere dolžine morata izmeriti, da bosta lahko izračunala ploščino lika med obema belima črtama.
Izmerila sta dolžino parkirnega mesta (merila je [latex]5\, \mathrm{m}[/latex]), nato pa še razdaljo med obema pasovoma, ki označujeta širino: ta razdalja je bila [latex]3{,}1\, \mathrm{m}[/latex].
Zmnožila sta obe količini ([latex]5\, \mathrm{m}\cdot3{,}1\, \mathrm{m}[/latex]) in izračunala, da je površina parkirnega mesta [latex]15{,}5\, \mathrm{m}^{\mathrm{2}}[/latex].
Mojster reši
Zgled 1
Izračunaj ploščino paralelograma ABCD.
a) Najprej oceni velikost ploščine.
b) Zapiši obrazec za ploščino in z njegovo pomočjo ploščino tudi izračunaj.
Reševanje:
a) Velikost ploščine lahko ocenimo.
Pri tem si pomagamo z npr. centimeter dolgimi pasovi, ki jih polagamo na dani paralelogram. Pasovi dokaj dobro prekrijejo ploskev. Vsakemu pasu določimo ploščino. Vsota ploščin tako dobljenih pasov je približna vrednost ploščine danega paralelograma. Ploščina enega pasu je [latex]5\, \mathrm{cm}^{\mathrm{2}}[/latex]; ker imamo štiri take pasove, je ploščina palelograma [latex]20\, \mathrm{cm}^{\mathrm{2}}[/latex].
b)
Sestavimo obrazec za računanje ploščine paralelograma s preoblikovanjem v pravokotnik, ki mu ploščino že znamo izračunati. Slika prikazuje, kako smo del paralelograma odrezali. Odrezani del smo na desni strani lika dopolnili v pravokotnik.
Ploščina paralelograma je enaka produktu stranice in višine na stranico.
[latex]p=a\cdot v_a\;\qquad\qquad p=b\cdot v_b[/latex]
Paralelogram preoblikujemo v ploščinsko enak pravokotnik z dolžino, ki je enaka stranici $a$, in širino, ki je enaka višini paralelograma $v_a$. Lahko ga preoblikujemo tudi v pravokotnik z dolžino $b$ in širino $v_b$.
[latex]p=a\cdot v_a[/latex]
[latex]p=5\cdot 4[/latex]
[latex]p=20 \; \text{cm}^2[/latex]
Zgled 2
V paralelogramu poznamo dolžino stranice [latex]a=\frac{3}{4}\; \text{dm}[/latex] in velikosti obeh višin, [latex]v_a=0{,}12\; \text{dm}[/latex] in [latex]v_b=5\; \text{cm}[/latex]. Izračunaj ploščino in obseg paralelograma.
Paralelogram
[latex]a=\frac{3}{4}\; \text{dm}[/latex]
[latex]v_a=0{,}12\; \text{dm}[/latex]
[latex]\underline{v_b=5\; \text{cm}}[/latex]
[latex]o=?[/latex]
[latex]p=?[/latex]
[latex]p=a \cdot v_a[/latex]
[latex]p=\frac{3}{4} \cdot 0{,}12[/latex]
[latex]p=0{,}75 \cdot 0{,}12[/latex]
[latex]p=0{,}09 \; \text{dm}^2[/latex]
[latex]p=9 \;\text{cm}^2[/latex]
[latex]p=b \cdot v_b[/latex]
[latex]b=\frac{p}{v_b}[/latex]
[latex]b=\frac{9}{5}[/latex]
[latex]b=1{,}8 \; \text{cm}[/latex]
[latex]b=0{,}18 \; \text{dm}[/latex]
[latex]o=2\cdot (a+b)[/latex]
[latex]o=2\cdot \left(\frac{3}{4}+0{,}18 \right)[/latex]
[latex]o=2\cdot (0{,}75+0{,}18)[/latex]
[latex]o=2\cdot 0{,}93[/latex]
[latex]o=1{,}86 \; \text{dm}[/latex]
[latex]o=18{,}6 \; \text{cm}[/latex]
- S pomočjo znane osnovnice in višine nanjo izračunamo ploščino.
- Količnik med izračunano ploščino in višino na stranico $b$ je enak stranici $b$.
- Ko poznamo dolžini stranic $a$ in $b$, lahko izračunamo obseg paralelograma.
Obseg paralelograma je dvakratnik vsote dolžin obeh stranic.
[latex]o=2\cdot(a+b)[/latex]
Romb je enakostranični paralelogram, saj ima vse stranice skladne.
Ploščina romba
[latex]p=a\cdot v[/latex]
Obseg romba
[latex]o=4\cdot a[/latex]