Obseg in ploščina pravokotnika ter kvadrata

Luka in Ana sta primerjala obsega in ploščini pravokotnika in kvadrata. Ugotovila sta, da imata lika enaka obsega. Menila sta, da imata lika tudi enaki ploščini. Predvidevanje sta preverila z računom. Kaj sta ugotovila?

Obseg pravokotnika je dvakratnik vsote dolžin obeh stranic.

[latex]\text{o}=2\cdot(a+b)[/latex]

 

Ploščina pravokotnika je enaka produktu dolžin obeh stranic.

[latex]\text{p}=a\cdot b[/latex]

Obseg kvadrata je štirikratnik dolžine stranice.

[latex]\text{o}=4\cdot a[/latex]

 

Ploščina kvadrata je enaka kvadratu stranice.

[latex]\text{p}=a\cdot a=a^2[/latex]

Ploščina je število ploščinskih enot, ki jih potrebujemo, da prekrijemo lik.

Obseg je enak vsoti dolžin vseh stranic, ki lik omejujejo.

Obseg in ploščina pravokotnika ter kvadrata

Luka in Ana sta primerjala obsega in ploščini pravokotnika in kvadrata. Ugotovila sta, da imata lika enaka obsega. Menila sta, da imata lika tudi enaki ploščini. Predvidevanje sta preverila z računom. Kaj sta ugotovila?

Pravokotnik
[latex]a=4\; \text{cm}[/latex]
[latex]\underline{b=2\; \text{cm}}[/latex]
[latex]o=?[/latex]
[latex]p=?[/latex]

[latex]o=2 \cdot (a + b)[/latex]
[latex]o=2 \cdot (4 + 2)[/latex]
[latex]o=2 \cdot 6[/latex]
[latex]o=12 \; \text{cm}[/latex]

[latex]p=a \cdot b[/latex]
[latex]p=4 \cdot 2[/latex]
[latex]p=8 \; \text{cm}^2[/latex]

Obseg pravokotnika je dvakratnik vsote dolžin obeh stranic.

[latex]o=2\cdot(a+b)[/latex]

Ploščina pravokotnika je enaka produktu dolžin obeh stranic.

[latex]p=a\cdot b[/latex]

Kvadrat
[latex]\underline{a=3\; \text{cm}}[/latex]
[latex]o=?[/latex]
[latex]p=?[/latex]

[latex]o=4 \cdot a[/latex]
[latex]o=4 \cdot 3[/latex]
[latex]o=12 \; \text{cm}[/latex]

[latex]p=a \cdot a[/latex]
[latex]p=3 \cdot 3[/latex]
[latex]p=9 \; \text{cm}^2[/latex]

Obseg kvadrata je štirikratnik dolžine stranice.

[latex]o=4\cdot a[/latex]

Ploščina kvadrata je enaka kvadratu stranice.

[latex]p=a\cdot a=a^2[/latex]

Luka in Ana sta ugotovila, da pravokotnik in kvadrat, ki imata enaka obsega, nimata tudi enakih ploščin.

Ploščina je število ploščinskih enot, ki jih potrebujemo, da prekrijemo lik.

Obseg je enak vsoti dolžin vseh stranic, ki lik omejujejo.

Zanimivost:

Nekoč so ljudje verjeli, da je obseg ploskve merilo za njeno ploščino. Verjeli so, da ima ploskev z dvakrat večjim obsegom tudi dvakrat večjo ploščino. Vendar vemo, da imajo pri danem obsegu največjo ploščino pravilni liki (kvadrat, enakostranični trikotnik …).

Mojster reši

Zgled 1

Izračunaj ploščino in obseg pravokotnika z dolžino [latex]a=4{,}5\, \mathrm{cm}[/latex] in širino [latex]b=34\, \mathrm{mm}[/latex].

Pravokotnik
[latex]a=4{,}5\; \text{cm}[/latex]
[latex]\underline{b=34\; \text{mm}=3{,}4\; \text{cm}}[/latex]
[latex]p=?[/latex]
[latex]o=?[/latex]

[latex]p=a \cdot b[/latex]
[latex]p=4{,}5 \cdot 3{,}4[/latex]
[latex]p=15{,}3 \; \text{cm}^2[/latex]

[latex]o=2 \cdot (a+b)[/latex]
[latex]o=2 \cdot (4{,}5 + 3{,}4)[/latex]
[latex]o=2 \cdot 7{,}9[/latex]
[latex]o=15{,}8 \; \text{cm}[/latex]

Kako rešujemo geometrijsko nalogo?
- Vstavimo podatke v obrazec.
- Količine izrazimo v isti merski enoti.
- Naredimo stranski račun.
- Zapišemo izračunano vrednost.
- Pripišemo enoto.

Zgled 2

Obseg kvadrata je [latex]15\, \mathrm{cm}[/latex]. Kolikšna je njegova ploščina?

Kvadrat
[latex]\underline{o=15\; \mathrm{cm}}[/latex]
[latex]p=?[/latex]

[latex]o=4 \cdot a[/latex]

[latex]a=\frac{\text{o}}{4}[/latex]

[latex]a=\frac{15}{4}[/latex]

[latex]a=3\frac{3}{4} \;\mathrm{cm}[/latex]

 

Ker ima kvadrat vse štiri stranice enako dolge, je dolžina stranice enaka četrtini obsega. 

[latex]p=a \cdot a[/latex]

[latex]p=3\frac{3}{4} \cdot 3\frac{3}{4}[/latex]

[latex]p=\frac{15}{4}\cdot\frac{15}{4} [/latex]

[latex]p=\frac{225}{16}[/latex]

[latex]p=14\frac{1}{16} \; \text{cm}^2 [/latex]

Odgovor: Ploščina kvadrata je [latex]14\frac{1}{16} \; \text{cm}^2 [/latex].

Vaja dela mojstra