Lastnosti in načrtovanje trapeza
Ana je iz lista prosojnega papirja izrezala trak, Luka pa kot. Slika prikazuje tri načine prekrivanja pri polaganju kota na trak. Liki, ki sta jih Ana in Luka dobila s presekom traku in kota, so štirikotniki. Kaj lahko z gotovostjo povesta o nastalih štirikotnikih?
Dve stranici sta v vseh treh štirikotnikih vzporedni. Štirikotniki so enako visoki.
Vsi liki v preseku traku in modela kota se imenujejo trapezi.
Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic.
Mojster reši
Zgled 1
Narišimo poljuben trapez ter označimo oglišča, stranice, višino, diagonali in srednjico.
Stranici $\textcolor{#3366ff}{a}$ in $\textcolor{#3366ff}{c}$ sta vzporedni, imenujemo ju osnovnici trapeza.
Drugi dve stranici, $\textcolor{#3366ff}{b}$ in $\textcolor{#3366ff}{d}$, sta kraka trapeza.
Oglišča: A, B, C in D
Osnovnici: $a$ in $c$
Kraka: $b$ in $d$
Diagonali: $|AC|=e\;\;\;|BD|=f$
Višina trapeza je razdalja med nosilkama vzporednih stranic. Višina je pravokotna na osnovnici.
$\textcolor{#3366ff}{v}$ ─ višina trapeza
Notranji koti:
Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči obeh krakov in je vzporedna z osnovnicama.
$\textcolor{#3366ff}{s}$ ─ srednjica trapeza
Notranja kota ob istem kraku trapeza merita skupaj 180°.
$\textcolor{#3366ff}{\alpha+\delta=180°}$
$\textcolor{#3366ff}{\beta+\gamma=180°}$
Zgled 2
Načrtaj trapez, če merijo stranice $a=3{,}5\;\text{cm}$, $b=1{,}8\;\text{cm}$ in $c=2{,}3\;\text{cm}$, kot $\beta$ pa meri [latex]60\degree[/latex].
Za načrtovanje štirikotnika potrebujemo pet podatkov. Trapez je štirikotnik, ki ima dve stranici vzporedni. Ker lego stranic poznamo, potrebujemo za načrtovanje trapeza en podatek manj, torej štiri podatke.
Najprej izpišemo podatke.
Narišemo skico in na njej označimo vsa oglišča in stranice.
Posebej označimo vse dane količine.
POTEK NAČRTOVANJA
- Narišemo trikotnik ABC (stranici $a$ in $b$ ter kot $\beta$, ki leži med njima).
- Skozi oglišče C narišemo vzporednico nosilki stranice $a$ in na njej s šestilom odmerimo dolžino stranice $c$.
- Dobljeno oglišče D povežemo z ogliščem A.
ENAKOKRAKI TRAPEZ
Zgled 3
Načrtaj enakokraki trapez ABCD, če je $a=3{,}5\;\text{cm}$, diagonala $e=3\;\text{cm}$ in višina $v=1{,}2\;\text{cm}$.
Enakokraki trapez je trapez, ki ima oba kraka skladna. Če smo za načrtovanje trapeza potrebovali štiri podatke, potrebujemo za enakokraki trapez le tri podatke.
LASTNOSTI ENAKOKRAKEGA TRAPEZA:
Ker je enakokraki trapez osno someren lik, ima naslednje lastnosti:
a) Somernica razpolavlja osnovnici $a$ in $c$.
b) Kraka $b$ in $d$ sta enako dolga.
c) Kota ob osnovnicah sta skladna.
č) Ima skladni diagonali.
d) Lahko mu očrtamo krožnico.
$b=d$, kraka sta skladna
višina $v$ je pravokotna na osnovnico
POTEK NAČRTOVANJA
- Narišemo stranico $a$ in njej vzporedno premico, oddaljeno za 1,2 cm. To je razdalja, ki je enaka višini trapeza.
- Iz oglišč A in B odmerimo krožna loka s polmerom 3 cm, kar je enako diagonali $e$ oziroma $f$.
Diagonali $e$ in $f$ sta skladni.
- Presečišči krožnih lokov in vzporednice sta oglišči C in D.
- Povežemo oglišči A in D ter B in C.
Zgled 4
Načrtaj trapez, če merita stranici $a=3{,}4\;\mathrm{cm}$ in $c=0{,}8\;\mathrm{cm}$, diagonala $f=3{,}1\;\mathrm{cm}$ in kot $\alpha=60°$. Bodi pozoren na več rešitev.
Najprej izpišemo podatke. Narišemo skico in na njej označimo vsa oglišča in stranice.
Posebej označimo vse dane količine.
POTEK NAČRTOVANJA
- Narišemo stranico $a$ in v oglišču A odmerimo kot $\alpha=60°$.
- Iz oglišča B odmerimo lok krožnice s polmerom $f=3{,}1\;\text{cm}$.
- Krožnica seka krak kota $\alpha$ v točkah $\text{D}_1$ in $\text{D}_2$.
- Skozi $\text{D}_1$ in $\text{D}_2$ narišemo vzporednici z osnovnico.
- Na vzporednicah odmerimo stranico $c$ in dobimo oglišči $\text{C}_1$ in $\text{C}_2$.
- Narišemo trapeza $\text{ABC}_1\text{D}_1$ in $\text{ABC}_2\text{D}_2$.