Koti trikotnika
Ana je na plakat narisala velik trikotnik in pobarvala njegove notranje kote. Nato je trikotnik izrezala, odtrgala vogale in jih zložila ob premico z vrhovi v isti točki. Luka je prav tako narisal trikotnik, pobarval in označil njegove zunanje kote, jih izrezal in zložil drugega poleg drugega z vrhovi v isti točki. Kaj sta ugotovila Ana in Luka?
Ana je ugotovila, da vsi trije notranji koti trikotnika skupaj sestavljajo iztegnjeni kot, torej merijo [latex]180\degree[/latex].
Luka je ugotovil, da zunanji koti trikotnika sestavljajo polni kot, torej je njihova vsota enaka [latex]360\degree[/latex].
Mojster reši
Zgled 1
Nariši trikotnik [latex]ABC[/latex] in označi notranje kote [latex]\alpha[/latex], [latex]\beta[/latex] in [latex]\gamma[/latex] ter zunanje kote [latex]\alpha_1[/latex], [latex]\beta_1[/latex] in [latex]\gamma_1[/latex]. Ugotovi, v kakšnem odnosu sta notranji in pripadajoči zunanji kot trikotnika.
Notranji koti: [latex]\alpha[/latex], [latex]\beta[/latex], [latex]\gamma[/latex]
Zunanji koti: [latex]\alpha_1[/latex], [latex]\beta_1[/latex], [latex]\gamma_1[/latex]
Notranji in njemu pripadajoči zunanji kot tvorita iztegnjeni kot. Torej velja:
[latex]\alpha+\alpha_1=180\degree[/latex]
[latex]\beta+\beta_1=180\degree[/latex]
[latex]\gamma+\gamma_1=180\degree[/latex]
Vsota notranjih kotov
trikotnika je [latex]180\degree[/latex].
[latex]\alpha+\beta+\gamma=180\degree[/latex]
Zgled 2
Računsko dokaži, da je vsota zunanjih kotov enaka [latex]360\degree[/latex].
[latex]\begin{aligned}(\alpha+\alpha_1)+(\beta+\beta_1)+(\gamma+\gamma_1)&=180\degree+180\degree+180\degree \\ (\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha_1+\beta_1+\gamma_1)&=3\cdot180\degree \\ 180\degree+(\alpha_1+\beta_1+\gamma_1)&=540\degree \\ (\alpha_1+\beta_1+\gamma_1)&=540\degree-180\degree \\ \alpha_1+\beta_1+\gamma_1&=360\degree\end{aligned}[/latex]
Dokazali smo že, da je vsota notranjega in njemu pripadajočega zunanjega kota enaka [latex]180\degree[/latex]. Ker ima trikotnik tri notranje in tri zunanje kote, je njihova vsota enaka [latex]540\degree[/latex]. Ko od [latex]540\degree[/latex] odštejemo vsoto notranjih kotov, to je [latex]180\degree[/latex], dobimo vsoto zunanjih kotov trikotnika, ki je [latex]360\degree[/latex].
Zunanji koti trikotnika [latex]\alpha_1[/latex], [latex]\beta_1[/latex] in [latex]\gamma_1[/latex] sestavljajo polni kot.
Vsota zunanjih kotov trikotnika je [latex]360\degree[/latex].
[latex]\alpha_1+\beta_1+\gamma_1=360\degree[/latex]
Zgled 3
Poišči in zapiši povezavo med notranjimi in zunanjimi koti trikotnika.
Vidimo, da notranji in njemu pripadajoči zunanji kot tvorita iztegnjeni kot, torej je njuna vsota [latex]180\degree[/latex].
Zunanjemu kotu [latex]\alpha_1[/latex] sta nepriležna notranja kota [latex]\beta[/latex] in [latex]\gamma[/latex].
Zunanjemu kotu [latex]\beta_1[/latex] sta nepriležna notranja kota [latex]\alpha[/latex] in [latex]\gamma[/latex].
Zunanjemu kotu [latex]\gamma_1[/latex] sta nepriležna notranja kota [latex]\alpha[/latex] in [latex]\beta[/latex].
Zunanji kot je enak vsoti dveh nepriležnih notranjih kotov.
[latex]\alpha_1=\beta+\gamma[/latex] [latex]\beta_1=\alpha+\gamma[/latex] [latex]\gamma_1=\alpha+\beta[/latex]
Zgled 4
V trikotniku [latex]ABC[/latex] meri notranji kot [latex]\beta=115\degree[/latex] in zunanji kot [latex]\gamma_1=130\degree[/latex]. Izračunaj notranji kot [latex]\alpha[/latex] in zunanji kot [latex]\alpha_1[/latex].
Da bomo lahko izračunali notranji kot [latex]\alpha[/latex], potrebujemo velikost kota [latex]\gamma[/latex]. Ker velja, da notranji in zunanji kot tvorita iztegnjeni kot, dobimo kot [latex]\gamma[/latex] tako, da velikost kota [latex]\gamma_1[/latex] odštejemo od [latex]180\degree[/latex].
[latex]\begin{aligned}\gamma&=180\degree-\gamma_1 \\ \gamma&=180\degree-130\degree \\ \gamma&=50\degree\end{aligned}[/latex]
Ker velja, da je vsota notranjih kotov trikotnika enaka [latex]180\degree[/latex], dobimo [latex]\alpha[/latex] tako, da od [latex]180\degree[/latex] odštejemo vsoto kotov [latex]\beta[/latex] in [latex]\gamma[/latex].
[latex]\begin{aligned}\alpha&=180\degree-(\beta+\gamma) \\ \alpha&=180\degree-(115\degree+50\degree) \\ \alpha&=180\degree-165\degree \\ \alpha&=15\degree\end{aligned}[/latex]
Vsota notranjega kota [latex]\alpha[/latex] in pripadajočega zunanjega kota [latex]\alpha_1[/latex] je iztegnjeni kot, torej [latex]\alpha_1[/latex] dobimo tako, da [latex]\alpha[/latex] odštejemo od [latex]180\degree[/latex].
[latex]\begin{aligned}\alpha_1&=180\degree-\alpha \\ \alpha_1&=180\degree-15\degree \\ \alpha_1&=165\degree\end{aligned}[/latex]