Deljenje ulomka z ulomkom

Obratna ulomka sta ulomka, katerih produkt je število [latex]1[/latex].

 

[latex]\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1;\, a,b\in \N [/latex]

Če števec in imenovalec danega ulomka med seboj zamenjamo, dobimo obratno vrednost prvotnega ulomka.

Ulomek delimo z ulomkom tako, da prvi ulomek (deljenec) pomnožimo z obratno vrednostjo drugega ulomka (delitelja).

 

[latex]\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c};\, a,b,c,d\in \N [/latex]

Deljenje ulomka z ulomkom

Izračunaj količnik [latex]\frac{3}{4}\,\colon\frac{2}{3}[/latex].

Deljenje ulomka [latex]\frac{3}{4}[/latex] z ulomkom [latex]\frac{2}{3}[/latex] opravimo v dveh korakih.

V prvem koraku deljenec delimo z naravnim številom [latex]2[/latex]. 

 

[latex]\frac{3}{4}:2=\frac{3}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}\qquad[/latex]

V drugem koraku dobljeni količnik množimo s [latex]3[/latex], kajti če ulomek [latex]\frac{3}{4}[/latex] delimo z [latex]\frac{2}{3}[/latex], tj. trikrat manjšim številom kot je število [latex]2[/latex], mora biti količnik trikrat večji.

[latex]\frac{3}{8}\cdot 3=\frac{9}{8}\qquad[/latex]         

Oba koraka lahko združimo:

[latex]\frac{3}{4}:\frac{2}{3}=\frac{3}{4}:2\cdot 3=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 2}=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}[/latex]

Če delitelj trikrat pomanjšamo, se količnik trikrat poveča.

Mojster reši

Zgled 1

Pomnoži vsakega od ulomkov [latex]\frac{4}{11}[/latex], [latex]\frac{1}{8}[/latex] in [latex]1\frac{1}{5}[/latex] s takim številom, da dobiš produkt [latex]1[/latex].

Besedilo prevedemo v enačbo: [latex]\frac{4}{11}\cdot \square =1[/latex]. Vrednost ulomka v [latex]\square [/latex] je [latex]\frac{11}{4}[/latex], ker je [latex]\frac{4}{11}\cdot \frac{11}{4}=\frac{\cancel{4}\cdot \cancel{11}\cdot 1\cdot 1}{\cancel{11}\cdot \cancel{4}\cdot 1\cdot 1}=1[/latex]. Ulomek [latex]\frac{11}{4}[/latex] imenujemo obratni ulomek ulomka [latex]\frac{4}{11}[/latex].

Obratna ulomka sta ulomka, katerih produkt je število [latex]1[/latex].

[latex]\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1;\, a,b\in \N [/latex]

Določimo še obratna ulomka ulomkoma [latex]\frac{1}{8}[/latex] in [latex]1\frac{1}{5}[/latex]. Zapise uredimo v preglednici.

Produkt ulomka z njegovim obratnim ulomkom je vedno [latex]1[/latex].

Ulomek s števcem [latex]0[/latex] nima obratnega ulomka,
saj ulomek [latex]\frac{a}{0}[/latex] ne obstaja.

Če števec in imenovalec danega ulomka med seboj zamenjamo, dobimo obratno vrednost prvotnega ulomka.

Zgled 2

Ulomek delimo z ulomkom tako, da prvi ulomek (deljenec) pomnožimo z obratno vrednostjo drugega ulomka (delitelja).

[latex]\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c};\, a,b,c,d\in \N [/latex]

Zgled 3

Izračunaj vrednost ulomka [latex]\frac{\,\frac{3}{5}\,}{\frac{6}{7}}[/latex].

Vrednost ulomka, ki ga imenujemo tudi dvojni ulomek, lahko izračunamo na tri načine.

1. način: Glavno ulomkovo črto nadomestimo z deljenjem.

[latex]\frac{\,\frac{3}{5}\,}{\frac{6}{7}}=\frac{3}{5}:\frac{6}{7}=\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{6}=\frac{\cancel{3}\cdot 7\cdot 1}{5\cdot \cancel{6}\cdot 2}=\frac{7}{10}[/latex]

Izračunaj vrednost ulomka [latex]\frac{\,\frac{3}{5}\,}{\frac{6}{7}}[/latex].

2. način: Števec in imenovalec dvojnega ulomka pomnožimo s skupnim imenovalcem obeh ulomkov. V našem primeru je to [latex]35[/latex]; [latex]v(5,\, 7)=35[/latex].

[latex]\frac{\frac{3}{\cancel{5}}\cdot \cancel{35}}{\frac{6}{\cancel{7}}\cdot \cancel{35}}=\frac{\cancel{3}\cdot 7\cdot 1}{\cancel{6}\cdot 5\cdot 2}=\frac{7}{10}[/latex]

Izračunaj vrednost ulomka [latex]\frac{\,\frac{3}{5}\,}{\frac{6}{7}}[/latex].

3. način: Upoštevamo, da je produkt zunanjih členov števec in produkt notranjih členov imenovalec ulomka.

[latex]\frac{\,\frac{3}{5}\,}{\frac{6}{7}}=\frac{3\cdot7}{5\cdot6}[/latex][latex]\qquad\frac{\,\frac{a}{b}\,}{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}[/latex], [latex]a[/latex] in [latex]d[/latex] sta zunanja člena, [latex]b[/latex] in [latex]c[/latex] sta notranja člena

Vaja dela mojstra