Aritmetična sredina ali povprečje

Luka je izvedel, da preobremenjenost z maso šolske torbice slabo vpliva na hrbtenico. Želel je preveriti, ali so torbice res pretežke. Pri nekaj sošolcih jih je stehtal in zapisal podatke: [latex]7\, \mathrm{kg}[/latex], [latex]6{,}7\, \mathrm{kg}[/latex], [latex]5{,}8\, \mathrm{kg}[/latex], [latex]9\, \mathrm{kg}[/latex], [latex]7{,}4\, \mathrm{kg}[/latex] in [latex]6{,}1\, \mathrm{kg}[/latex]. Kolikšna je povprečna masa šolske torbice?

Aritmetična sredina ali povprečje

[latex]\bar{x}=\frac{\mathrm{vsota\, vseh\, podatkov}}{\mathrm{število\, podatkov}}[/latex]

Aritmetična sredina ali povprečje

Luka je izvedel, da preobremenjenost z maso šolske torbice slabo vpliva na hrbtenico. Želel je preveriti, ali so torbice res pretežke. Pri nekaj sošolcih jih je stehtal in zapisal podatke: [latex]7\, \mathrm{kg}[/latex], [latex]6{,}7\, \mathrm{kg}[/latex], [latex]5{,}8\, \mathrm{kg}[/latex], [latex]9\, \mathrm{kg}[/latex], [latex]7{,}4\, \mathrm{kg}[/latex] in [latex]6{,}1\, \mathrm{kg}[/latex]. Kolikšna je povprečna masa šolske torbice?

Najprej je treba sešteti mase vseh torbic.

[latex]7\, \mathrm{kg}+6{,}7\, \mathrm{kg}+5{,}8\, \mathrm{kg}+9\, \mathrm{kg}+7{,}4\, \mathrm{kg}+6{,}1\, \mathrm{kg}=42\, \mathrm{kg}[/latex]

Če želimo dobiti povprečno maso šolske torbice, moramo skupno maso torbic enakomerno porazdeliti med vseh šest torbic. Masa ene šolske torbice znaša povprečno [latex]42\, \mathrm{kg}:6=7\, \mathrm{kg}[/latex]. To je tako, kot da bi vsak od učencev nosil torbo z maso [latex]7\, \mathrm{kg}[/latex].

Povprečna masa šolske torbice Lukovih sošolcev je [latex]7\, \mathrm{kg}[/latex].

Kljub pravilnosti postopka in točnemu rezultatu si pri preverjanju preobremenjenosti učencev s šolsko torbico Luka s tem podatkom ne more pomagati. Aritmetična sredina ali povprečna vrednost, kot ji pogosto rečemo, namreč ne pove vsega, kar potrebujemo. Ničesar namreč ne vemo o telesni masi učenca, ki na svojih ramenih nosi šolsko torbico. Šele vrednost razmerja med maso šolske torbice in maso učenca bi razkrila podatek o tem, ali je hrbtenica resnično preobremenjena. Praviloma naj bi šolska torbica ne presegla [latex]10\,%[/latex] telesne mase učenca, ki jo nosi.

Aritmetično sredino ali povprečje lahko izračunamo le za številske podatke.

Mojster reši

Zgled 1

Peter, Gašper in Jernej so se odpravili na enotedensko kolesarjenje. Kakšen dan so prevozili daljšo, kakšen dan krajšo pot, ves čas pa so dolžine prevoženih etap skrbno beležili. Na koncu tedna je bilo za njimi [latex]490\, \mathrm{km}[/latex] poti. Koliko so v povprečju prevozili na dan?

Iz besedila je jasno, da je vsak v enem tednu prevozil [latex]490\, \mathrm{km}[/latex]. To pomeni, da je vsak v povprečju prevozil ([latex]490\, \mathrm{km}:7[/latex]) [latex]70\, \mathrm{km}[/latex] na dan.

Odgovor: Dnevne etape treh kolesarjev so bile povprečno dolge po [latex]70\, \mathrm{km}[/latex], kakšen dan nekaj kilometrov več ali manj.

Zgled 2

Na mizi imamo vrečke po [latex]15[/latex], [latex]20[/latex], [latex]35[/latex] in [latex]28[/latex] mandarin. Ali je lahko [latex]12[/latex] mandarin aritmetična sredina števila mandarin v vrečkah?

Aritmetična sredina je po velikosti med najmanjšim in največjim številom mandarin v vrečkah.

Število [latex]12[/latex] ne leži med najmanjšim in največjim številom mandarin v vrečkah, zato
[latex]12[/latex] mandarin v tem primeru ni aritmetična sredina števila mandarin v vrečkah.

Odgovor: [latex]12[/latex] mandarin ne more biti aritmetična sredina števila mandarin v vrečkah.

Zgled 3

Tjaša je dobila prvi teden [latex]4{,}50\, \mathrm{€}[/latex] žepnine, drugi teden [latex]5{,}10\, \mathrm{€}[/latex], tretji teden [latex]3{,}70\, \mathrm{€}[/latex], četrti teden [latex]4{,}80\, \mathrm{€}[/latex] in peti teden [latex]6{,}80\, \mathrm{€}[/latex]. Kolikšna je povprečna tedenska žepnina, ki jo je prejemala Tjaša?

Aritmetično sredino izračunaš tako, da vsoto vseh vrednosti podatkov deliš s številom podatkov. Pravimo ji tudi povprečje.

[latex]\overline{x}=\frac{4{,}50\,\mathrm{€}+5{,}10\,\mathrm{€}+3{,}70\,\mathrm{€}+4{,}80\,\mathrm{€}+6{,}80\,\mathrm{€}}{5}=\frac{24{,}90\,\mathrm{€}}{5}=4{,}98\,\mathrm{€}[/latex]

Odgovor: Tjaša je tedensko povprečno dobivala po [latex]4{,}98\, \mathrm{€}[/latex] žepnine.

Aritmetična sredina ali povprečje

[latex]\bar{x}=\frac{\mathrm{vsota\, vseh\, podatkov}}{\mathrm{število\, podatkov}}[/latex]

Zgled 4

Trije prijatelji so igrali loto. Dva sta dobila po [latex]100\, \mathrm{€}[/latex], eden pa [latex]10\, 000\, \mathrm{€}[/latex]. Kaj lahko poveš o povprečnem dobitku teh prijateljev?

[latex]\bar{x}=\frac{100\, \mathrm{€}+100\, \mathrm{€}+10\,000 \, \mathrm{€}}{3}[/latex]

[latex]\bar{x}=\frac{10\,200 \, \mathrm{€}}{3}[/latex]

[latex]\bar{x}=3400\, \mathrm{€}[/latex]

Odgovor: Trije prijatelji so povprečno dobili po [latex]3400\, \mathrm{€}[/latex], kar odstopa od realnega stanja. Toliko bi dobili, če bi si vse zneske enakovredno razdelili med seboj.

Aritmetična sredina (povprečna vrednost) je občutljiva za podatke, ki zelo odstopajo. Prikaže nam le splošno informacijo o podatkih, ne pove pa nam veliko o podatkih, ki zelo odstopajo, tako da nam pogosto zakrije realnost podatkov.

Pri določanju aritmetične sredine podatkov iz vsakdanjega življenja lahko za rešitev dobimo decimalno število. Matematično in statistično je tak izračun povsem pravilen, vendar ni vedno življenjsko uporaben.

Vaja dela mojstra