Enakostranični stožec
Mojster reši
Zgled
Ploščina osnega preseka enakostraničnega stožca meri [latex]16\, \sqrt[]{3}\, \mathrm{dm^2}[/latex]. Kolikšni sta površina in prostornina tega stožca? Rezultat izrazi s [latex]\pi[/latex].
Stožec je enakostraničen, če je njegova stranica enaka premeru osnovne ploskve.
Površino takega stožca izračunamo po osnovnem obrazcu, pri čemer upoštevamo, da je [latex]s=2r[/latex].
Ugotovimo, da površine ne moremo izračunati. Za izračun površine namreč potrebujemo podatek o polmeru osnovne ploskve stožca.
Ker je stožec enakostraničen, je osni presek enakostranični trikotnik, katerega stranica je enaka premeru osnovne ploskve. Dolžino polmera, ki jo potrebujemo, izrazimo iz obrazca za ploščino enakostraničnega trikotnika.
Vrednost polmera vstavimo v obrazec za izračun površine enakostraničnega stožca.
[latex]\begin{aligned}P&=3\pi{r^2} \\ P&=3\pi\cdot{4^2} \\ P&=3\pi\cdot{16} \\ P&=48\pi\, \mathrm{dm^2}\end{aligned}[/latex]
Odgovor: Površina enakostraničnega stožca meri [latex]48\pi\, \mathrm{dm^2}[/latex], prostornina pa [latex]\frac{64\cdot\, {\sqrt[]{3}}}{3}\pi\, \mathrm{dm^3}[/latex].
Enakostranični stožec ima stranico enako premeru osnovne ploskve.
Osni presek enakostraničnega stožca je enakostranični trikotnik.
Površina enakostraničnega stožca
[latex]P=3\cdot{\pi}\cdot{r^2}=3\pi{r^2}[/latex]
Prostornina enakostraničnega stožca
[latex]\begin{aligned}V&=\frac{O\cdot{v}}{3} \\ V&=\frac{\pi{r^2}\cdot{r\, \sqrt[]{3}}}{3} \\ V&=\frac{\pi{r^3}\, \sqrt[]{3}}{3}\end{aligned}[/latex]
Zanimivost
Plašč enakostraničnega stožca ima vedno obliko polkroga. To pomeni, da središčni kot krožnega izseka, ki je plašč stožca, meri [latex]180\degree[/latex], kar dokažemo takole:
[latex]\begin{aligned}l&=o;s=2r \\ \\ \frac{\pi\cdot{s}\cdot\alpha}{180\degree}&=\pi\cdot{s}/\cdot180\degree \\ \pi\cdot{s}\cdot\alpha&=180\degree\cdot\pi\cdot{s}/:(\pi\cdot{s}) \\ \alpha&=180\degree\end{aligned}[/latex]