Prostornina stožca
Ana že pozna razmerje med prostorninama prizme in piramide. Ve, da je prostornina piramide enaka [latex]\frac{1}{3}[/latex] prostornine prizme z enako osnovno ploskvijo in enako višino. Z Lukom želita preveriti, ali velja tak odnos tudi med prostorninama valja in stožca.
Lotila sta se poskusa. Čašo v obliki stožca, polno vode, sta morala kar trikrat napolniti in vsebino preliti v vazo v obliki valja, da sta jo napolnila. Čaša in vaza, ki sta ju uporabila pri poskusu, sta enako visoki in enako široki.
Pri primerjavi prostornin stožca in valja velja enako razmerje kot pri primerjavi prostornin piramide in prizme. Prostornina stožca je enaka [latex]\frac{1}{3}[/latex] prostornine valja z enako osnovno ploskvijo in enako višino.
Mojster reši
Zgled
Koliko meri prostornina stožca s stranico [latex]3\, \mathrm{dm}[/latex] in [latex]1\, \mathrm{dm}[/latex] dolgim polmerom osnovne ploskve?
Prostornino izračunamo po obrazcu [latex]V=\frac{O\cdot v}{3}=\frac{\pi\cdot r^2\cdot v}{3}[/latex].
Za izračun prostornine potrebujemo poleg polmera [latex]r[/latex] osnovne ploskve stožca še višino stožca [latex]v[/latex]. Višino stožca izračunamo po Pitagorovem izreku s pomočjo pravokotnega trikotnika, ki ima za hipotenuzo stranico stožca [latex]s[/latex], za kateti pa polmer osnovne ploskve [latex]r[/latex] in višino stožca [latex]v[/latex].
[latex]v=\sqrt[]{s^2-r^2}=\sqrt[]{3^2-1^2}=\sqrt[]{9-1}=\sqrt[]{8}=2\, \sqrt[]{2}[/latex], [latex]v=2\, \sqrt[]{2}\, \mathrm{dm}[/latex]
Polmer osnovne ploskve in višino stožca vstavimo v obrazec za prostornino in izračunamo:
[latex]V=\frac{\pi\cdot1^2\cdot2\, \sqrt[]{2}}{3}=\frac{2\, \sqrt[]{2}}{3}\pi[/latex], [latex]V=\frac{2\, \sqrt[]{2}}{3}\pi\, \mathrm{dm^3}\doteq3\, \mathrm{dm^3}[/latex].
Pregledno to zapišemo takole:
Stožec
[latex]r=1\, \mathrm{dm}\\\underline{s=3\, \mathrm{dm}}\\V=?[/latex]
[latex]V=\frac{O\cdot v}{3}[/latex]
[latex]V=\frac{\pi r^2\cdot v}{3}[/latex]
[latex]V=\frac{\pi\cdot1^2\cdot\textcolor{red}{v}}{3}[/latex]
[latex]V=\frac{2\sqrt2}{3}\pi[/latex]
[latex]V\doteq\frac{2\cdot1{,}41}{3}\cdot3{,}14[/latex]
[latex]V\doteq3\, \mathrm{dm}^{\mathrm{3}}[/latex]
[latex]v^2=s^2-r^2\\v=\sqrt{s^2-r^2}\\v=\sqrt{3^2-1^2}\\v=\sqrt{9-1}\\v=\sqrt{8}\\v=2\sqrt{2}\, \mathrm{dm}[/latex]
Odgovor: Prostornina meri [latex]\frac{2\, \sqrt[]{2}}{3}\pi\, \mathrm{dm^3}[/latex], kar je približno [latex]3\, \mathrm{dm^3}[/latex].
Prostornina stožca
[latex]V=\frac{O\cdot v}{3}=\frac{1}{3}\cdot O\cdot v[/latex]
[latex]V=\frac{\pi\cdot r^2\cdot v^{}}{3}=\frac{\pi{r^2v}^{}}{3}=\frac{1}{3}\cdot\pi{r^2}v[/latex]
Prostornina stožca je enaka tretjini produkta ploščine osnovne ploskve in višine.