Pravilna tristrana piramida. Pravilna in enakoroba tristrana piramida
Ana je na trši papir narisala mrežo pravilne tristrane piramide z osnovnim robom [latex]6\, \mathrm{cm}[/latex] in višino stranske ploskve [latex]4\, \mathrm{cm}[/latex], nato pa je mrežo zlepila v model piramide. Najmanj koliko kvadratnih centimetrov papirja je porabila za model te piramide?
Osnovna ploskev pravilne tristrane piramide je enakostranični trikotnik.
Ploščino izračunamo po obrazcu
[latex]O=\frac{a^2\cdot\sqrt[]{3}}{4}[/latex]
Plašč je sestavljen iz treh skladnih enakokrakih trikotnikov.
[latex]O=\frac{a^2\cdot\sqrt[]{3}}{4}[/latex]
[latex]O=\frac{6^2\cdot\sqrt[]{3}}{4}[/latex]
[latex]O=\frac{36\cdot\sqrt[]{3}}{4}[/latex]
[latex]O=9\hspace{1mm}\sqrt[]{3}\, \mathrm{cm^2}[/latex]
[latex]O\doteq15,59\, \mathrm{cm^2}[/latex]
[latex]pl=3\cdot S[/latex]
[latex]pl=3\cdot\frac{a\cdot v_1}{2}[/latex]
[latex]pl=3\cdot\frac{6\cdot4}{2}[/latex]
[latex]pl=36\, \mathrm{cm^2}[/latex]
Stranska ploskev piramide je enakokraki trikotnik, zato ploščino izračunamo po obrazcu
[latex]S=\frac{a\cdot v_1^{}}{2}[/latex]
Površina piramide je vsota ploščin osnovne ploskve in plašča.
[latex]P=O+pl[/latex]
[latex]P\doteq15{,}59+36[/latex]
[latex]P\doteq51{,}59\, \mathrm{cm^2}[/latex]
Ana je za izdelavo modela pravilne tristrane piramide porabila najmanj [latex]51{,}59\, \mathrm{cm^2}[/latex] papirja.
Površina pravilne tristrane piramide
[latex]P=O+pl[/latex]
[latex]P=\frac{a^2\cdot\sqrt[]{3}}{4}+3\cdot\frac{av_1}{2}[/latex]
Prostornina pravilne tristrane piramide
[latex]V=\frac{O\cdot v}{3}=\frac{1}{3}\cdot O\cdot v[/latex]
[latex]V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}\cdot v[/latex]
[latex]V=\frac{a^2\cdot\sqrt[]{3}\cdot v}{12}[/latex]
PITAGOROV IZREK V PRAVILNI TRISTRANI PIRAMIDI
Osnovna ploskev pravilne tristrane piramide je enakostranični trikotnik. Presečišče višin enakostraničnega trikotnika je višinska točka, ki razdeli višino v razmerju [latex]1:2[/latex].
Enakoroba tristrana piramida
[latex]\underline{a=2 \, \mathrm{cm}}[/latex]
[latex]P=?[/latex]
[latex]\frac{1}{3}\cdot v_a=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\cdot\sqrt[]{3}}{2}=\frac{a\cdot\sqrt[]{3}}{6}[/latex]
[latex]\frac{2}{3}\cdot v_a=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\cdot\sqrt[]{3}}{2}=\frac{a\cdot\sqrt[]{3}}{3}[/latex]
V pravilni tristrani piramidi so trije različni pravokotni trikotniki. Z uporabo Pitagorovega izreka pri znanih dolžinah dveh stranic izračunamo tretjo.
[latex]s^2=v^2_1+\left(\frac{a}{2}\right)^2[/latex]
Dolžina katete [latex]ES[/latex] je enaka [latex]\frac{1}{3}[/latex] višine osnovne ploskve.
[latex]v^2_1=v^2+\left(\frac{1}{3}v_a\right)^2[/latex]
Dolžina katete [latex]SB[/latex] je enaka [latex]\frac{2}{3}[/latex] višine osnovne ploskve.
[latex]s^2=v^2+\left(\frac{2}{3}v_a\right)^2[/latex]
Mojster reši
Zgled
Nariši mrežo in izračunaj površino enakorobe tristrane piramide z osnovnim robom [latex]2\, \mathrm{cm}[/latex].
Ker je piramida enakoroba, ima vse mejne ploskve enako velike; to so štirje enakostranični trikotniki.
[latex]O=\frac{a^2+\sqrt[]{3}}{4}[/latex]
[latex]pl=3\cdot O[/latex]
[latex]P=O+pl[/latex]
[latex]P=O+3\cdot O[/latex]
[latex]P=4\cdot O[/latex]
[latex]P=4\cdot\frac{a^2\cdot\sqrt[]{3}}{4}[/latex]
[latex]P=a^2\cdot\sqrt[]{3}[/latex]
[latex]P=a^2\cdot\sqrt[]{3}[/latex]
[latex]P=2^2\cdot\sqrt[]{3}[/latex]
[latex]P=4\cdot\sqrt[]{3}[/latex]
[latex]P\doteq4\cdot1{,}73[/latex]
[latex]P\doteq6{,}92\, \mathrm{cm^2}[/latex]
Ploščina plašča je trikrat večja od ploščine osnovne ploskve. Površino enakorobe tristrane piramide dobimo tako, da seštejemo ploščini osnovne ploskve in plašča.
Višina enakorobe tristrane piramide
[latex]v^2=a^2-\left(\frac{2}{3}v_a\right)^2[/latex]
[latex]v^2=a^2-\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{a\,\,\sqrt[]{3}}{2}\right)^2[/latex]
[latex]v^2=a^2-\frac{a^2}{3}[/latex]
[latex]v=\sqrt[]{\frac{2a^2}{3}}[/latex]
[latex]v=\frac{a\cdot\sqrt[]{6}}{3}[/latex]
Površina enakorobe tristrane piramide
[latex]P=4\cdot\frac{a^2\cdot\sqrt[]{3}}{4}[/latex]
[latex]P=a^2\cdot\sqrt[]{3}[/latex]
Prostornina enakorobe tristrane piramide
[latex]V=\frac{1}{3}\cdot O\cdot v[/latex]
[latex]V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\cdot\sqrt[]{3}}{4}\cdot\frac{a\cdot\sqrt[]{6}}{3}[/latex]
[latex]V=\frac{a^3\cdot\sqrt[]{2}}{12}[/latex]
Vaja dela mojstra
Enakorobni tristrani piramidi pravimo četverec ali tetraeder.
[latex]s=a[/latex]