Plašč, površina in prostornina piramide
Ana želi iz mrežastega blaga ukrojiti prekrivalo v obliki pravilne štiristrane piramide, ki bi zaščitilo jagode pred mrčesom. Najmanj koliko kvadratnih decimetrov blaga naj kupi, če bo osnovni rob dolg [latex]30\, \mathrm{cm}[/latex], višina stranske ploskve pa [latex]20\, \mathrm{cm}[/latex]?
Ana potrebuje toliko blaga, kolikor znaša velikost plašča štiristrane piramide. Ker je plašč sestavljen iz štirih enakih trikotnikov, je ploščina plašča enaka štirikratni ploščini enakokrakega trikotnika z dolžino osnovnice [latex]30\, \mathrm{cm}[/latex] in višino [latex]20\, \mathrm{cm}[/latex].
[latex]pl=4\cdot\frac{a\cdot v_1}{2}[/latex]
[latex]pl=2\cdot a\cdot v_1[/latex]
[latex]pl=2\cdot 30\cdot 20[/latex]
[latex]pl=1200\, \mathrm{cm^2}[/latex]
[latex]pl=12\, \mathrm{dm^2}[/latex]
Ana bo izrezala štiri enakokrake trikotnike ter jih sešila med seboj po stranskih robovih. Kupi naj najmanj [latex]12\, \mathrm{dm^2}[/latex] blaga.
Poščina plašča piramide je enaka vsoti ploščin stranskih ploskev.
Mojster reši
POVRŠINA PIRAMIDE
Zgled 1
Koliko meri površina piramide, katere osnovna ploskev meri [latex]135\, \mathrm{m^2}[/latex], plašč pa [latex]265\, \mathrm{m^2}[/latex]?
Piramida
[latex]O=135\, \mathrm{m^2}[/latex]
[latex]\underline{pl=265\, \mathrm{m^2}}[/latex]
[latex]P=[/latex]?
[latex]P=O+pl[/latex]
[latex]P=135+265[/latex]
[latex]P=400\, \mathrm{m^2}[/latex]
Odgovor: Površina piramide meri [latex]400\, \mathrm{m^2}[/latex].
Površina piramide
[latex]P=O+pl[/latex]
Površina piramide je vsota ploščin osnovne ploskve in plašča.
PROSTORNINA PIRAMIDE
Zgled 2
Na sliki sta pravilna štiristrana prizma in pravilna štiristrana piramida. Obe telesi imata enaki osnovni ploskvi in enaki višini. Kaj ugotovimo, ko pesek iz piramide trikrat presujemo v prizmo?
Odgovor: Ugotovimo, da je pizma polna. To pomeni, da je prostornina piramide trikrat manjša od prostornine prizme.
V splošnem velja, da je prostornina piramide enaka tretjini prostornine prizme, če imata enaki osnovni ploskvi in enaki višini.
Prostornina piramide je odvisna od ploščine osnovne ploskve in višine piramide ter je enaka tretjini produkta ploščine osnovne ploskve in višine.
Prostornina piramide
[latex]V=\frac{O\cdot v}{3}=\frac{1}{3}\cdot O\cdot v[/latex]
Zgled 3
Koliko decimetrov meri višina piramide s ploščino osnovne ploskve [latex]25\, \mathrm{dm^2}[/latex], če je v njej [latex]100\, \mathrm{dm^3}[/latex] zraka in debelino sten zanemarimo?
Ker nas zanima višina piramide, jo izračunamo tako, da jo izpeljemo iz obrazca za prostornino. Vstavimo podatka za prostornino in osnovno ploskev ter izračunamo višino piramide.
Piramida
[latex]O=25\, \mathrm{dm^2}[/latex]
[latex]\underline{V=100\, \mathrm{dm^3}}[/latex]
[latex]v=?[/latex]
[latex]\begin{aligned}V & =\frac{O\cdot v}{3}\hspace{1mm}/\cdot3\\ 3\cdot V & =O\cdot v\hspace{1mm}/\colon O \\ \frac{3\cdot V}{O} & =v \\ v & =\frac{3\cdot100}{25} \\ v & =12\, \mathrm{dm}\end{aligned}[/latex]
Odgovor: Piramida je visoka [latex]12\, \mathrm{dm}[/latex].