Reševanje linearnih neenačb

Luka je razmišljal, kako naj na številski premici predstavi vsa realna števila, večja od [latex]–2{,}5[/latex].

Reševanje linearnih neenačb

Luka je razmišljal, kako naj na številski premici predstavi vsa realna števila, večja od [latex]–2{,}5[/latex].

Lahko je naštel nekaj takih števil, vendar nikoli vseh, saj je ta množica števil neskončna. Zamislil si je števila –2,49; –2,48; –2,47 …; –2,489; –2,487 … Če naj jih upodobi na številski premici, mora narisati poltrak z izhodiščem v sliki števila –2,5. Vse točke na tem poltraku, večje od –2,5, ležijo desno od tega števila.

S poltrakom je predstavljena rešitev neenačbe [latex]x>–2{,}5[/latex].

Linearne neenačbe prav tako kot linearne enačbe rešujemo po pravilih o ekvivalentnosti.

Neenačbo preoblikujemo v ekvivalentno neenačbo po naslednjih pravilih:

  • obema stranema neenačbe lahko prištejemo ali odštejemo isto število, znak neenakosti se ohrani;
  • obe strani neenačbe lahko množimo ali delimo z istim pozitivnim številom, znak neenakosti se ohrani;
  • kadar obe strani neenačbe množimo ali delimo z negativnim številom, se znak neenakosti obrne.

Mojster reši

Zgled 1

Poišči množico rešitev neenačbe [latex]4x+17<25[/latex], če za osnovno množico vzamemo realna števila. Rešitev neenačbe predstavi na realni osi.

[latex]4x+17<25[/latex]

            [latex]4x<25-17[/latex]                    Na obeh straneh neenačbe odštejemo število 17.

            [latex]4x<8[/latex]                                 Dobljeni zapis poenostavimo.

            [latex]4x<8/:4[/latex]                        Obe strani neenačbe delimo s 4.

              [latex]x<2[/latex]

Rešitev neenačbe prikažemo na realni osi s poltrakom, ki ima izhodišče v sliki števila 2 in poteka v levo. Vsebuje slike realnih števil, manjših od 2.

Zgled 2

Reši neenačbo [latex]x-2\le 2x+7[/latex].

Zgled 3

Reši sistem dveh neenačb z eno neznanko [latex]-5\le 2x+1\le 3[/latex] in rešitev predstavi na številski premici.

Neenakost oblike [latex]c\le ax+b\le d[/latex] je sistem neenačb z eno neznanko.

Zapišemo ga lahko kot dve neenačbi, povezani z besedico in.

[latex]c\le ax+b[/latex] in [latex]ax+b\le d[/latex]

Reševanje:

Sistem dveh neenačb z eno neznanko rešimo tako, da rešimo vsako neenačbo posebej.
[latex]-5\le 2x+1\le 3[/latex] razdelimo na:

a) [latex]-5\le 2x+1[/latex]
b) [latex]2x+1\le 3[/latex]

a)    [latex]-5\le 2x+1[/latex]             Število 1 zapišemo na drugi strani neenačaja in mu spremenimo                                                     predznak.

[latex]-5-1\le 2x[/latex]                      Poenostavimo izraz na levi strani.

        [latex]-6\le 2x/:2[/latex]            Obe strani neenačbe delimo z 2.

        [latex]-3\le x[/latex]                        Rešitev prve neenačbe so vsa realna števila, ki so večja ali enaka                                                  številu –3.
           [latex]x\ge -3[/latex]                     

b) [latex]2x+1\le 3[/latex]

              [latex]2x\le -1+3[/latex]                    Število 1 zapišemo na desni strani neenačaja.

              [latex]2x\le 2/:2[/latex]                       Poenostavimo izraz na desni strani. Obe strani neenačbe                                                                 delimo z 2.                                                             

                 [latex]x\le 1[/latex]                                Rešitev druge neenačbe so vsa realna števila, ki so manjša                                                                ali enaka številu 1.

Rešitev sistema dveh neenačb dobimo tako, da upoštevamo rešitvi obeh neenačb. Rešitev je presek obeh množic, ki sta rešitvi neenačb. Presek rešitev obeh neenačb so števila, večja ali enaka –3 in hkrati manjša ali enaka 1, kar zapišemo takole: [latex]-3\le x\le 1[/latex].

Vaja dela mojstra