Linearna enačba, osnovna množica in množica rešitev

Ana je morala ponoviti in zapisati vse, kar je že vedela o enačbah.

Linearna enačba, osnovna množica in množica rešitev

Ana je morala ponoviti in zapisati vse,
kar je že vedela o enačbah.

– Enačba je enakost dveh matematičnih izrazov, v katerih nastopa neznanka.

– Neznano število v enačbi imenujemo neznanka in ga navadno označimo z $x$.

– Leva stran enačbe je izraz na levi strani enačaja, desna stran enačbe je izraz na desni strani enačaja. Med njima je zapisan enačaj.

– Rešitev enačbe je število, pri katerem je vrednost izraza na levi strani enačbe enaka vrednosti izraza na desni strani. Množica rešitev enačbe [latex]\mathscr{R}[/latex] je množica vseh tistih števil, ki ustrezajo oziroma zadoščajo enačbi.

– Naredimo preizkus, s katerim preverimo, ali smo dobili enaki vrednosti izrazov: v dano enačbo namesto neznanke vstavimo dobljeno rešitev.

Enačbe delimo glede na:

število neznank:

– enačba z eno neznanko: [latex]x+3=2x[/latex]

– enačba z dvema neznankama: [latex]x+y=5[/latex]

– enačba z več neznankami: [latex]x+y+z=0[/latex]

 

V teh podpoglavjih bomo reševali večinoma linearne enačbe z eno neznanko.

najvišjo stopnjo neznanke:

– enačba 1. stopnje ali linearna enačba: [latex]x+3=2x[/latex]

– enačba 2. stopnje ali kvadratna enačba: [latex]x^2=9[/latex]

– enačba 3. stopnje ali kubična enačba: [latex]x^3=27[/latex]

množico rešitev:

– nerešljiva enačba: [latex]0\cdot x=5[/latex]                                nima rešitve, množica rešitev je prazna, [latex]\mathscr{R}=[/latex] { }

– linearna enačba: [latex]x+3=2x[/latex]                              z eno rešitvijo, [latex]x = 3[/latex], [latex]\mathscr{R} = \{3\}[/latex]

– enačba z več rešitvami: [latex]x^2-1=0[/latex]                  z dvema rešitvama, [latex]x_1=1[/latex] in [latex]x_2=-1[/latex],                                                                                                              [latex]\mathscr{R} = \{ -1, 1 \}[/latex]
                                                                                                       

– identična enačba: [latex]x+1=x+1[/latex]                     neskončno veliko rešitev, [latex]\mathscr{R}=\R [/latex]

Mojster reši

Zgled 1

Dana je enačba [latex]6x-7=2x+5[/latex]. Ugotovi, katero število iz množice [latex]\mathscr{U} = \{ -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3 \}[/latex] je rešitev enačbe.

Dano množico imenujemo osnovna množica (ali univerzalna množica) in jo označimo z [latex]\mathscr{U}[/latex]. V njej so vrednosti spremenljivk, ki jih lahko izbiramo. Poiskati želimo število, pri katerem bo vrednost leve strani enačbe enaka vrednosti desne strani enačbe. Dobljeno število imenujemo rešitev enačbe. Števila, ki so rešitev enačbe, zapišemo v množici rešitev [latex]\mathscr{R}[/latex].

Enačbo rešujemo tako, da namesto spremenljivke x drugo za drugo vstavimo vse vrednosti iz osnovne množice v levo in desno stran enačbe ter izračunamo vrednost izraza na obeh straneh enačbe.

Dobljene rezultate zberemo v preglednici.

Opazimo, da se pri različnih vrednostih za $x$ spreminjata vrednosti izrazov na levi in desni strani enačbe. V našem primeru naraščajo vrednosti leve strani enačbe za $6$, vrednosti desne strani enačbe pa za $2$, pri čemer smo za $x$ vstavljali zaporedne vrednosti. Vrednosti obeh strani se vedno bolj približujeta in pri $x = 3$ sta enaki, zato je x = 3 rešitev dane enačbe.

Števila, ki so rešitve enačbe in so hkrati tudi elementi osnovne množice, sestavljajo množico rešitev, ki jo zapišemo takole: [latex]\mathscr{R} = \{ 3 \}[/latex].

Zgled 2

Dani sta enačbi [latex]x+9=4[/latex] in [latex]-3x=-2[/latex]. Razišči množico rešitev prve enačbe in množico rešitev druge enačbe, če je osnovna množica:

a)[latex]\mathscr{U}=\N [/latex]                    b) [latex]\mathscr{U}=\Z [/latex]                    c) [latex]\mathscr{U}=\R [/latex]

Množica rešitev je odvisna od dane osnovne množice. Zato preverimo, ali rešitev enačbe pripada dani osnovni množici.

1. enačba: [latex]x+9=4[/latex]

Iščemo neznani seštevanec, ki ga dobimo tako, da od vsote [latex]4[/latex] odštejemo znani seštevanec [latex]9[/latex]. Dobimo [latex]x=4-9[/latex], torej [latex]x=-5[/latex]. Prvi enačbi [latex]x+9=4[/latex] torej zadošča število [latex]-5[/latex].

a) Enačba nima rešitve, ker število [latex]-5[/latex] ni naravno število.
Množica rešitev je prazna ali [latex]\mathscr{R}=[/latex] [latex]\{\}[/latex].

b) Množica rešitev je [latex]\mathscr{R} = \{ -5 \}[/latex], ker je [latex]-5[/latex] celo število.

c) Množica rešitev je [latex]\mathscr{R} = \{ -5 \}[/latex], ker je [latex]-5[/latex] realno število.

2. enačba: [latex]–3x=–2[/latex]

Iščemo neznani faktor [latex]x[/latex], ki ga izračunamo tako, da obe strani enačbe delimo z [latex]–3[/latex]. Dobimo [latex]x=(–2)\colon(–3)[/latex] oziroma [latex]x=\frac{2}{3}[/latex]. Drugi enačbi [latex]–3x=–2[/latex] torej zadošča število [latex]\frac{2}{3}[/latex].

a) Enačba nima rešitve, ker število [latex]\frac{2}{3}[/latex] ni naravno število.
Množica rešitev je prazna ali [latex]\mathscr{R}=[/latex] [latex]\{\}[/latex].

b) Množica rešitev je prazna ali [latex]\mathscr{R}=[/latex] [latex]\{\}[/latex], ker število [latex]\frac{2}{3}[/latex] ni celo število.

c) Množica rešitev [latex]\mathscr{R}=\{\frac{2}{3}\}[/latex], ker je [latex]\frac{2}{3}[/latex] realno število.

Ugotovitve lahko zberemo v preglednici.

Vaja dela mojstra