Razširjanje in krajšanje algebrskih ulomkov

Ana trdi, da so ulomki na modri podlagi razširjeni ulomki ulomka v sredini. Luka pa trdi, da je ulomek, ki je v sredini, okrajšani ulomek ulomkov na modri podlagi. Kateri od njiju ima prav?

Prav imata oba.

Za krajšanje in razširjanje algebrskih ulomkov veljajo enaka pravila kot pri številskih ulomkih.

RAZŠIRJANJE ALGEBRSKIH ULOMKOV

Algebrski ulomek razširimo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z istim od nič različnim številom ali izrazom.

Mojster reši

Zgled 1

Razširi algebrski ulomek $\frac{1}{4+x}$ z $-5x$.

[latex]\frac{1}{4+x}=\frac{1\textcolor{red}{\cdot (-5x)}}{(4+x)\textcolor{red}{\cdot (-5x)}}=\frac{-5x}{-20x-5x^{2}}[/latex]

Števec in imenovalec smo pomnožili z $-5x$.

Razširi algebrski ulomek $\frac{6}{7x}$ na imenovalec $14x^2$.

$7x \textcolor{red}{\cdot 2x}=14x^2$

Najprej razmislimo, s katerim izrazom je razširjen dani imenovalec. Ker je to izraz $2x$, števec in imenovalec pomnožimo z njim.

$\frac{6}{7x}=\frac{6\textcolor{red}{\cdot (2x)}}{(7x)\textcolor{red}{\cdot (2x)}}=\frac{12x}{14x^{2}}$

Zgled 2

Razširi ulomka $\frac{y}{y^2-4}$ in $\frac{2}{y+2}$ na najmanjši skupni imenovalec.

Najprej imenovalec ulomka $\frac{y}{y^2-4}$ razstavimo na produkt dveh dvočlenikov. Najmanjši skupni imenovalec izrazov [latex]y^2-4[/latex] in $y + 2$ je [latex]\left(y+2\right)\left(y-2\right)[/latex]. Imenovalec prvega ulomka ostane nespremenjen, ker je že najmanjši skupni imenovalec, drugi ulomek pa razširimo z izrazom [latex]\left(y-2\right)[/latex].

[latex]\begin{aligned}\frac{y}{y^2-4} & =\frac{y}{(y+2)(y-2)}=\frac{y}{y^2-4} \\ \frac{2}{y+2} & =\frac{2 \textcolor{red}{\cdot (y-2)}}{(y+2)\textcolor{red}{\cdot (y-2)}}=\frac{2y-4}{y^2-4} \end{aligned}[/latex]

Vaja dela mojstra

KRAJŠANJE ALGEBRSKIH ULOMKOV

Algebrski ulomek krajšamo tako, da števec in imenovalec delimo z istim od nič različnim številom ali izrazom.

Mojster reši

Zgled 1

Krajšaj algebrska ulomka $\frac{12x}{5x^2}$ in $\frac{x}{x^4}$ z $x$.

$\frac{12x}{5x^2}=\frac{12x \textcolor{red}{:x}}{5x^2 \textcolor{red}{:x}}=\frac{12}{5x}$

$\frac{x}{x^4}=\frac{x\textcolor{red}{:x}}{x^4\textcolor{red}{:x}}=\frac{1}{x^3}$

Števec in imenovalec smo delili z $x$.

Krajšaj algebrska ulomka $\frac{7(x+1)}{x^2(x+1)}$ in $\frac{x^2-1}{(x+1)^2}$ z $(x+1)$.

$\frac{7(x+1)}{x^2(x+1)}=\frac{7(x+1)\textcolor{red}{:(x+1)}}{x^2(x+1)\textcolor{red}{:(x+1)}}=\frac{7}{x^2}$

Števec in imenovalec smo delili z $(x + 1)$.

$\frac{x^2-1}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)(x-1)\textcolor{red}{:(x+1)}}{(x+1)(x+1)\textcolor{red}{:(x+1)}}=\frac{x-1}{x+1}$

Opazimo, da je v imenovalcu razlika kvadratov, ki jo lahko razstavimo na produkt dveh dvočlenikov, nato pa ulomek krajšamo z $(x + 1)$.

Zgled 2

Okrajšaj algebrski ulomek $\frac{5x^4y^3}{10x^3y^4}$.

$\frac{5x^4y^3}{10x^3y^4}=\frac{\cancel{5}\cdot \cancel{x}\cdot \cancel{x}\cdot \cancel{x}\cdot x\cdot \cancel{y}\cdot \cancel{y}\cdot \cancel{y}}{\cancel{5}\cdot 2\cdot \cancel{x}\cdot \cancel{x}\cdot \cancel{x}\cdot \cancel{y}\cdot \cancel{y}\cdot \cancel{y}\cdot y}=\frac{x}{2y}$

Ulomek smo krajšali s $5x^3y^3$, tj. z največjim skupnim deliteljem števca in imenovalca.

Okrajšaj algebrski ulomek $\frac{x^2-4}{x-2}$.

$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{(x-2)}\cdot 1}=\frac{x+2}{1}=x+2$

Števec smo najprej razstavili v produkt [latex]\left(x-2\right)\left(x+2\right)[/latex] in nato ulomek krajšali z največjim skupnim deliteljem, izrazom [latex]\left(x-2\right)[/latex].