Razstavljanje izraza
Ana je izraz [latex]2a^2x+4x^2[/latex] zapisala na tri različne načine in sicer kot
[latex]2\cdot a\cdot a\cdot x+4\cdot x\cdot x[/latex],
[latex]x\cdot (2a^2+4x)[/latex] in
[latex]2x\cdot (a^2+2x)[/latex].
Luko zanima, v katerem primeru izraza [latex]2a^2x+4x^2[/latex] ni zapisala kot produkt in zakaj ne.
V primeru [latex]2\cdot a\cdot a\cdot x+4\cdot x\cdot x[/latex] izraza [latex]2a^2x+4x^2[/latex] ni zapisala kot produkt. Izraz dobi ime po operaciji, ki jo opravimo nazadnje. V zapisu [latex]2\cdot a\cdot a\cdot x+4\cdot x\cdot x[/latex] bi kot zadnjo operacijo izvedli seštevanje, zato je izraz še vedno vsota.
Mojster reši
Zgled 1
Razstavi izraz [latex]3a^2+9ax+6ay[/latex] z izpostavljanjem največjega skupnega faktorja.
Razstaviti izraz pomeni, da ga zapišemo kot produkt. V tem primeru ga bomo razstavili tako, da bomo poiskali skupni faktor. Skupni faktor je skupni delitelj vseh členov veččlenika. Najprej poiščemo največji skupni delitelj vseh koeficientov, to je [latex]3[/latex]. Skupna spremenljivka vseh členov pa je [latex]a[/latex]. Skupni faktor je [latex]3a[/latex]. Nato vsak člen veččlenika zapišemo kot produkt enočlenikov, kjer je eden od faktorjev skupni faktor [latex]3a[/latex].
[latex]3a^2+9ax+6ay=[/latex][latex]\,3a[/latex][latex]\,\cdot\, a+[/latex][latex]\,3a[/latex][latex]\,\cdot\, 3x+[/latex][latex]\,3a[/latex][latex]\,\cdot\, 2y=[/latex][latex]\,3a[/latex][latex]\,\cdot\, (a+3x+2y)[/latex]
Ker vsi členi veččlenika vsebujejo skupni faktor [latex]3a[/latex], ga lahko izpostavimo. Tako smo vsoto preoblikovali v produkt in veččlenik razstavili. Pri razstavljanju izpostavimo največji skupni faktor vseh členov. Uporabimo zakon o razčlenjevanju.
[latex]ab+ac=a\cdot (b+c)[/latex]
[latex]ab-ac=a\cdot (b-c)[/latex]
Zgled 2
Razstavi razlike kvadratov [latex]a^2-49[/latex], [latex]4a^2-9b^2[/latex] in [latex]\frac{x^2}{16}-0,25y^2[/latex]
Razliko kvadratov dveh členov dobimo, če pomnožimo vsoto in razliko teh dveh členov.
[latex]a^2-49=(\rule{1em}{0.04em}+\rule{1em}{0.04em})(\rule{1em}{0.04em}-\rule{1em}{0.04em})[/latex]
Na prvo mesto v oklepaju postavimo [latex]\sqrt{a^2}[/latex], to je [latex]a[/latex]. Na drugo mesto v oklepaju postavimo [latex]\sqrt{49}[/latex], to je [latex]7[/latex].
Razliko kvadratov [latex]a^2-49[/latex] zapišemo kot [latex](a+7)(a-7)[/latex]. Pravimo, da smo razliko kvadratov [latex]a^2[/latex] in [latex]49[/latex] preoblikovali v produkt.
Izraz lahko razstavimo tudi tako, da v obratni smeri upoštevamo pravilo za produkt vsote in razlike dveh enakih členov.
[latex]4a^2-9b^2=(2a)^2-(3b)^2=(2a+3b)\cdot (2a-3b)[/latex]
[latex]\frac{x^2}{16}-0,25y^2=\left(\frac{x}{4}\right)^2-(0,5y)^2=\left(\frac{x}{4}+0,5y\right)\left(\frac{x}{4}-0,5y\right)[/latex]
Razlika kvadratov dveh enakih členov je enaka produktu vsote in razlike teh dveh členov.
[latex]a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)[/latex]
Zgled 3
Razstavi izraz [latex]9x^2+12x+4[/latex].
Tega izraza ne moremo razstaviti niti z izpostavljanjem skupnega faktorja niti kot produkt vsote in razlike dveh enakih členov.
Opazimo pa, da sta prvi in tretji člen kvadrata enočlenika, zato se spomnimo na pravilo za kvadrat dvočlenika: [latex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/latex]. V našem primeru bomo to pravilo upoštevali v obratni smeri.
[latex]9x^2+12x+4=(\rule{1em}{0.04em}+\rule{1em}{0.04em})^2[/latex]
V ta namen prvi in zadnji člen korenimo. Preveriti moramo še drugi člen. Ali je [latex]2\cdot 3x\cdot 2=12x[/latex]? Ugotovimo, da je.
[latex]9x^2+12x+4=(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2+2^2=(\rule{1em}{0.04em}+\rule{1em}{0.04em})^2[/latex]
Na prvo mesto v oklepaju postavimo člen [latex]3x[/latex], na drugo pa [latex]2[/latex]. Zapisani kvadrat dvočlenika lahko zapišemo kot produkt dveh vsot.
Tako smo tričlenik [latex]9x^2+12x+4[/latex] razstavili na [latex](3x+2)^2=(3x+2)\cdot (3x+2)[/latex].
Izraz razstavimo, če ga zapišemo v obliki produkta. Pravimo tudi, da izraz faktoriziramo.
Vaja dela mojstra
S preoblikovanjem v produkt vsote in razlike lahko izračunamo razlike kvadratov števil.
Primer: [latex]6^2-4^2=(6+4)\cdot (6-4)=10\cdot 2=20[/latex]
Uporabi pravilo [latex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/latex] in izračunaj [latex]7^2-4^2[/latex], [latex]57^2-54^2[/latex], [latex]557^2-554^2[/latex], [latex]53^2-47^2[/latex] in [latex]14{,}5^2-10{,}5^2[/latex].